Wyznaczanie miejsca zerowego funkcji
Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji f(x) to znalezienie wszystkich wartości x, dla których f(x)=0.
Istnieje kilka metod wyznaczania miejsca zerowego funkcji. Najprostsza z nich to metoda połowienia przedziału, która sprowadza się do zacieśniania obszaru poszukiwań przez dzielenie zadanego przedziału na połowy i rozpatrywanie tego z dwóch przedziałów, na którego krańcach wartości funkcji różnią się znakiem.
Przyjmujemy następujące warunki początkowe: funkcja f(x) jest ciągła w przedziale domkniętym przedziale <a;b> oraz f(a) i
f(b) mają różne znaki. Wówczas na
podstawie twierdzenia o przyjmowaniu wartości pośrednich można stwierdzić że istnieje x taki że f(x)=0
eżeli f(c)=0 to miejsce zerowe zostało znalezione. W przeciwnym razie wartość c staje się kolejnym przybliżeniem miejsca zerowego funkcji. Powstają również
dwa nowe przedziału <a;c> i <c;b>. Wybieramy ten z nich, na którego krańcach wartości funkcji są różnych znaków i
powtarzamy połowienie
Warunki zakończenia algorytmu można określić na trzy sposoby:
1. kiedy liczba powtórzeń operacji połowienia osiągnie określoną wartość
2.kiedy |f(c)| < Δ, gdzie Δ - założona dokładność obliczeń (tzn. błąd bezwzględny); oznacza to że osiągnięte przybliżenie
miejsca zerowego różni się od
rzeczywistego co najwyżej o pewną założoną wartość Δ, na przykład +/- 0,1.
3. kiedy |b'-a'|< Δ, gdzie Δ - założona dokładność obliczeń; oznacza to że przedział jest tak mały, że nie ma sensu go dalej
dzielić
Metoda siecznych (metoda Eulera) – metoda numeryczna, służąca do rozwiązywania równania nieliniowego z jedną niewiadomą.
Metoda siecznych to algorytm interpolacji liniowej. W literaturze polskojęzycznej nazywana czasem bywa metodą cięciw. Polega na przyjęciu, że funkcja ciągła na dostatecznie małym odcinku w przybliżeniu zmienia się w sposób liniowy. Możemy wtedy na odcinku <a; b> krzywą y=f(x) zastąpić sieczną. Za przybliżoną wartość pierwiastka przyjmujemy punkt przecięcia siecznej z osią OX.
Metodę siecznych dla funkcji f(x) mającej pierwiastek w przedziale <a; b> można zapisać następującym wzorem iteracyjnym:
W metodzie Newtona przyjmuje się następujące założenia dla funkcji f:
- W przedziale [a,b] znajduje się dokładnie jeden pierwiastek.
- Funkcja ma różne znaki na krańcach przedziału, tj. f(a) * f(b) < 0
- Pierwsza i druga pochodna funkcji mają stały znak w tym przedziale.
W pierwszym kroku metody wybierany jest punkt startowy x1 (zazwyczaj jest to wartość a, b, 0 lub 1), z którego następnie wyprowadzana jest styczna w f(x1). Odcięta punktu przecięcia stycznej z osią OX jest pierwszym przybliżeniem rozwiązania (ozn. x2).
Jeśli to przybliżenie nie jest satysfakcjonujące, wówczas punkt x2 jest wybierany jako nowy punkt startowy i wszystkie czynności są powtarzane. Proces jest kontynuowany, aż zostanie uzyskane wystarczająco dobre przybliżenie pierwiastka
Kolejne przybliżenia są dane rekurencyjnym wzorem:
